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基本的には名義変更しなくてOKです。自賠責保険は、車両につく保険なので、運転者が異なっても、保険はおります。
ただし、事故を起こした場合、名義変更前の人に保険の連絡が行くので手間になります。ですが、任意保険に入れば、保険会社が名義変更前の方への連絡含めてすべて手続きしてくれるので、任意保険に入れば名義変更はしなくても問題ありません。
ちなみに、自賠責保険の保険料は、前回車検をした人がすでに2年分支払っていますので、車検の期限内では、あなたは保険料を支払う必要がありません。(次回車検時にあなたが2年分支払います。)